Question

已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列，的通项公式；

（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1

【解析】

（Ⅰ）由已知得，

即， 由2b1=a1+a2=25，得b1=， 由a22=b1b2，得b2=18，

∴{}是以为首项，为公差的等差数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴，

因为，，成等比数列

所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

原式化为，

即f（n）=恒成立，

当a–1＞0即a＞1时，不合题意；

当a–1=0即a=1时，满足题意；

当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，

∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；

综上，a≤1.