Question

定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．

（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若，是数列的保三角形函数”，求的取值范围；

（2）已知数列的首项为2019，是数列的前项和，且满足，证明是“三角形”数列；

（3）求证：函数，是数列1，，的“保三角形函数”的充要条件是，．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）先由条件得是三角形数列，再利用，是数列的“保三角形函数”，得到，解得的取值范围；

（2）先利用条件求出数列的通项公式，再证明其满足“三角形”数列的定义即可；

（3）根据函数，，是数列1，，的“保三角形函数”，可以得到①1，，是三角形数列，所以，即，②数列中的各项必须在定义域内，即，③，，是三角形数列；结论为在利用，是单调递减函数，就可求出对应的范围，即可证明．

（1）【解析】
显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列，

因为，显然有，

由得，解得，

所以当时，是数列的“保三角形函数”；

（2）证：由，

当时，，∴，∴，

当时，即，解得，∴，

∴数列是以2019为首项，以为公比的等比数列，

∴，

显然，因为，

所以是“三角形”数列；

（3）证：函数，是数列1，，的“保三角形函数”，必须满足三个条件：

①1，，是三角形数列，所以，即；

②数列中的各项必须在定义域内，即；

③，，是三角形数列，

由于，是单调递减函数，所以，解得，

所以函数，是数列1，，的“保三角形函数”的充要条件是，．