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如图,在直四棱柱中,底面为梯形,,,,,,点在线段上,,. (1)证明:平面. ...

如图,在直四棱柱中,底面为梯形,,点在线段上,.

1)证明:平面.

2)求二面角的余弦值.

 

(1)见解析 (2) 【解析】 (1)连接,证明得到四边形为平行四边形,故得到证明. (2)作于,以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴,计算平面的法向量为,平面的法向量为,计算夹角得到答案. (1)证明:连接,因为底面为梯形,,,, 则,且, 所以四边形为平行四边形,则. 又平面,平面,所以平面. (2)作于,以点为坐标原点,分别以,,所 在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,,,,, 所以,,. 设平面的法向量为, 则令,得. 设平面的法向量为, 则令,得. 所以 因为二面角为锐角,所以其余弦值为.
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