Question

已知函数的定义域为且满足，当时，.

（1）判断在上的单调性并加以证明；

（2）若方程有实数根，则称为函数的一个不动点，设正数为函数的一个不动点，且，求的取值范围.

Answer

(1) 单调递减. 见解析 (2) （或）.

【解析】

（1）根据已知条件，构造函数，可证在上单调递减.，再通过的奇偶性，可得出在上单调递减，即可判断在上的单调性；

（2）转为为（1）中的两个函数值，利用的单调性，求出的范围，再根据不动点的定义转化为在有解，，分离参数，转化为研究与函数在有交点，通过两次求导得出在单调性，即可求出在的范围.

（1）令，则，

∵当时，，∴，

∴在上单调递减，又∵，

∴，

∴为奇函数，∴在上单调递减.

又∵在上单调递减，

∴在上单调递减.

（2）由（1）可知，在上单调递减.

∵，∴，

∴，故.

∵正数为函数上的一个不动点，∴方程在上有解，

即方程在上有解，

整理得：.

令，，

设，，则，

∴在上单调递增，又，

∴，∴，

∴在上单调递减，

∴（或），

即的取值范围是（或）.