Question

已知椭圆的长轴长为，短轴长为．

(1)求椭圆方程；

(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长．

Answer

(1)；(2) ，.

【解析】

（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；

（2）设以点P（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出k，然后求出直线方程，联立解方程组，求出A，B，再求出|AB|．

(1)由椭圆长轴长为，短轴长为，

得，所以，

所以椭圆方程为．

(2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.

在椭圆上，所以，，

两式相减可得，

所以的斜率为，

∴点为中点的弦所在直线方程为.

由，得，所以或，

所以．