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如图,在直角梯形ABCD中,,,,,E为AB的中点.将沿CE折起,使点B到达点F...

如图,在直角梯形ABCD中,EAB的中点.沿CE折起,使点B到达点F的位置,且平面CEF与平面ADCE所成的二面角为.

1)求证:平面平面AEF

2)求直线DF与平面CEF所成角的正弦值.

 

(1)证明见解析(2) 【解析】 (1)证明,,可得线面垂直,再利用线面垂直判定定理可证面面垂直; (2)以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,求得和平面的一个法向量,再代入向量的夹角公式,即可得答案. (1)证明:由题设得四边形为正方形, 则,, 又,平面,平面, ∴平面. 又平面, ∴平面平面. (2)由,, 得是二面角的平面角,即, 又, ∴为正三角形. 以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示, 则,, 从而,,, 设平面的一个法向量为, 则,即, 取,则, 设直线与平面CEF所成的角为, 则, 所以直线与平面CEF所成角的正弦值为.
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考点分析:
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