Question

如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E为AB的中点.将沿CE折起，使点B到达点F的位置，且平面CEF与平面ADCE所成的二面角为.

（1）求证：平面平面AEF；

（2）求直线DF与平面CEF所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明，，可得线面垂直，再利用线面垂直判定定理可证面面垂直；

（2）以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，再代入向量的夹角公式，即可得答案.

（1）证明：由题设得四边形为正方形，

则，，

又，平面，平面，

∴平面.

又平面，

∴平面平面.

（2）由，，

得是二面角的平面角，即，

又，

∴为正三角形.

以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，

从而，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，则，

设直线与平面CEF所成的角为，

则，

所以直线与平面CEF所成角的正弦值为.