Question

已知椭圆的长轴长为6，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且，记直线AM，BN的斜率分别为，且,求直线的方程.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据长轴长为6，离心率为，可求得的值，即可得答案；

（2）设的方程为，，直线与椭圆的另一个交点为，利用得到方程，与韦达定理联立，求得，进一步求得关于的方程，求出的值，即可得到直线方程.

（1）由题意，可得，，，

联立解得，，，

∴椭圆的标准方程为.

（2）如图，由（1）知，

设的方程为，，

直线与椭圆的另一个交点为，

∵，根据对称性可得，

联立，整理得，

∴，

∵，∴，

即，

联立解得，，

∵，，∴，

∴，∴，

∴直线的方程为，即.