Question

已知函数.

（1）令，求的单调区间；

（2）若直线是函数的图象的切线，且，求的最小值.

Answer

（1）单调增区间为，单调减区间为（2）

【解析】

（1）求出，再求导、解不等式，从而得到函数的单调区间；

（2）设切点坐标为，将表示成关于的函数，再构造函数利用导数研究函数的最小值，即可得答案.

（1）函数的定义域为，

则，

当时，，函数为增函数；

当时，，函数为减函数，

所以的单调增区间为，单调减区间为.

（2）设切点坐标为，

则切线的斜率为，

将切点坐标代入直线，

可得，

所以.

令，

则，

令，解得，在区间上为减函数；

令，解得，在区间上为增函数，

所以，

故的最小值为.