Question

已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求△面积的最小值；

（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标.

Answer

（1）；（2）9；（3）.

【解析】

（1）求出，，直接求出椭圆方程；

（2）设，，，由，所以，代入三角形面积公式，由基本不等式求出即可；

（3）设出直线为：，联立解方程组，用，表示出点，，，由为定值，求出当，求出的坐标．

（1）设椭圆的方程为，椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，所以，，

又椭圆经过点，代入椭圆方程，求得，

所以椭圆的方程为：；

（2）设，，，

由，所以，

，故面积的最小值为9；

（3）设直线的方程为：，则点，

联立，消去得，

，，

所以，

则的中点的坐标为，又，得，

则直线的方程为：，

令，得点的坐标为，则，

所以，

当且仅当时，比值为定值，此时点，为，

故或．