Question

已知函数的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质.

（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；

（2）求证：任取，函数，具有性质；

（3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围.

Answer

（1）具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断；

（2）根据条件验证时的取值范围即可；

（3）考虑和两种情况，利用反证法即可求出取值范围．

（1）具有性质，

设，令，则，

解得，又，所以具有性质；

（2）任取，令，则，

因为，解得，又，所以，

当，时，，

即，即任取实数，都具有性质；

（3）若，取，则且，

故，

又，，所以具有性质；

假设存在使得具有性质，即存在，使得，

若，则，，，，

若，则，进而，，，，

，所以假设不成立，所以．