Question

已知数列满足：，，其中，数列满足：

（1）当时，求的值；

（2）证明：对任意均成立，并求数列的通项公式；

（3）是否存在正数，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的.

Answer

（1），，，；（2）证明见解析，；（3）.

【解析】

（1）根据计算得到，，，再根据与的关系，得到答案；（2）由条件可得，然后得到，两式相减，从而进行证明，并以根据所证的式子可得到的通项；（3）假设存在正数，由（2）可知，由，得到，再利用数学归纳法进行证明满足题意.

（1），所以，

时，时

时，

而

所以，，，；

（2）因为，

所以，

所以

下式减上式，得，

整理得

即有，

所以，

，

所以；

（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数，

由（2）可知①，

由，，可得，

当时，为整数，利用，

结合①式，反复递推，可知每一项均为整数，所以符合题意，

当时，①式变为②

下用数学归纳法证明为偶数，为整数

时，结论显然成立，

假设时，结论成立，此时为偶数，为整数，

故时，为偶数，为整数，

所以时，命题也成立.

所以数列为整数数列.此时满足题意.

综上所述，满足题意的的取值集合为.