Question

给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆”，若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为.

(1)求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；

(2)若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长.

Answer

(1)， ；(2).

【解析】

（1）根据椭圆的几何性质可得，由可得，由此可得椭圆的方程及“伴椭圆”的方程；

（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，根据判别式为0，解出，求出圆心到直线的距离，再根据垂径定理，由勾股定理可求得弦长.

(1)因为，，所以，

所以椭圆的方程为，伴随圆的方程为.

(2)设直线l的方程，由得

由得，

圆心到直线l的距离为，所以