Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，若且有两个零点，求的取值范围.

Answer

（1）当时，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数.（2）

【解析】

（1）求定义域以及导数，对参数进行分类讨论，求解对应情况下的单调性即可；

（2）由（1）中所得，可知的解析式，根据的单调性，将零点问题转化为图像相交的问题，数形结合，求解参数范围.

（1）的定义域为，，

，

对于，，

当时，，

则在上是增函数.

当时，

对于，有，则在上是增函数.

当时，

令，得或，

令，得，

所以在，上是增函数，

在上是减函数.

综上，当时，在上是增函数；

当时，在，上是增函数，

在上是减函数.

（2）由已知可得，

因为，所以，而，所以，

所以，所以在上单调递增.

所以.

故有两个零点，等价于

=在内有两个零点.

等价于有两根，

显然不是方程的根，

因此原方程可化为，

设，，

由解得，或

由解得，

故在上单调递减，在上单调递增.

其图像如下所示：

所以，

所以，

所以.