Question

随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足: ，平均每班地铁的载客人数 （单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系：，

（1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔的取值范围；

（2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.

Answer

（1）；（2），最大值为260元.

【解析】

（1）根据题意即求解不等式；

（2）根据题意求出的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值.

（1）当，超过1560，所以不满足题意；

当，载客人数不超过1560，

即，解得或，由于

所以；

（2）根据题意，

则

根据基本不等式，，当且仅当，即时取得等号，所以，

即当时，平均利润的最大值为260元，

当时，单调递减，，

综上所述，最大值为260元.