Question

已知椭圆：与轴交于，两点，为椭圆的左焦点，且是边长为2的等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于轴的对称点为（与，都不重合），判断直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

Answer

（1）;（2）,证明见详解

【解析】

(1)由题意可得,由△是边长为2的等边三角形,可得,,进而得到椭圆方程;

(2)设出直线的方程和,的坐标,则可知的坐标,进而表示出的直线方程,再联立方程与椭圆方程,即可把代入求得,结合韦达定理进行化简,进而得出直线与轴交于定点.

(1)由题意可得,,,

,

由△是边长为2的等边三角形,可得,

,即,

则椭圆的方程为;

(2)由题可知直线的斜率不为0,故设直线的方程为:,

联立,

得,即(),

设,,,,则,,

又,,

经过点,,,的直线方程为,

令,则,

又,.

当时,.

故直线与轴交于定点.