Question

已知四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,,,又平面,且,点在棱上且.

（1）求证:;

（2）求与平面所成角的正弦值;

（3）求二面角的大小.

Answer

（1）答案见解析（2）（3）

【解析】

（1）推导出,从而平面,进而,由此能证明平面,即可求得答案;

（2）由（1）可得:平面,所以为与平面所成角,求出长,即可求得答案;

（3）连结,交于点,,从而平面平面,进而平面,过作于点,连结,则,则为二面角的平面角,即可求得答案.

（1）取中点为,连接

,

底面是直角梯形,

∥,即∥

又

四边形是平行四边形

可得,中点为,

根据直角三角形性质可得:为直角三角形,且

又平面

平面

平面

（2）由（1）可得:平面

为与平面所成角

为直角三角形,,

又 ,

为等腰直角三角形

在中,

与平面所成角的正弦值.

（3）连结,交于点,,如图:

平面,

平面平面,

平面

过作于点,连结,则,

为二面角的平面角,

在中,

在中,

在中,

二面角的大小为.