Question

如图，点C在以AB为直径的圆上运动，PA⊥平面ABC，且PA＝AC，D，E分别是PC，PB的中点．

（1）求证：PC⊥平面ADE．

（2）若二面角C﹣AE﹣B为60°，求直线AB与平面ADE所成角的大小．

Answer

（1）见解析（2）30°．

【解析】

（1）由已知可得BC⊥平面PAC，进而有DE⊥平面PAC，可得DE⊥PC，再由已知可得AD⊥PC，即可证明结论；

（2）设PA＝AC＝1，设BC＝t，建立以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过点C作的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，结合已知求出，求出坐标，用线面角公式即可求解.

（1）证明：∵点C在以AB为直径的圆上运动，PA⊥平面ABC，

∴BC⊥PA，BC⊥AC，∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，

∵D，E分别是PC，PB的中点，∴DE∥BC，

∴DE⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴DE⊥PC，

∵PA＝AC，D是PC中点，∴AD⊥PC，

∵DE∩AD＝D，∴PC⊥平面ADE．

（2）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，

过点C作的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，

设PA＝AC＝1，设BC＝t，则A（0，1，0），B（t，0，0），

C（0，0，0），P（0，1，1），E（），

（t，﹣1，0），（0，﹣1，0），（，），

设平面ACE的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，0，﹣t），

设平面ABE的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，t，0），

∵二面角C﹣AE﹣B为60°，

∴cos60°，解得t＝1，（t＝﹣1，舍），

∴B（1，0，0），（﹣1，1，0），

由（1）得为平面ADE的法向量

设直线AB与平面ADE所成角的大小为θ，

则sinθ，∴θ＝30°，

∴直线AB与平面ADE所成角的大小为30°．