Question

已知函数f（x）a²x（k∈R，a＞0，e为自然对数的底数），且曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为e²﹣a²．

（1）求实数k的值，并讨论函数f（x）的单调性；

（2）设函数g（x），若对∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈R，使不等式f（x₂）≤g（x₁）﹣1成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）k＝2，见解析（2）0＜a．

【解析】

（1）求出，由已知求出，，求出的范围，即可得出结论；

（2）对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使不等式f（x2）≤g（x1）﹣1成立，转化为由（1）求出，用导数法求出，即可求解.

（1），f'（1），

得，故k＝2，a＞0，所以＝e2x﹣a2＝e2x﹣e2lna，

当x∈（﹣∞，lna）时，＜0，f（x）递减；

当x∈（lna，+∞）时，，f（x）递增；

单调递减区间是，单调递增区间是

（2）根据（1）当x∈R时，f（x）有最小值为

f（lna），

g（x），

，x∈（0，+∞），

令h（x）＝x2ex+lnx，显然函数在（0，+∞）单调递增，

由h（），h（1）＞0，

故h（x）在（，1）存在唯一的零点m，使得h（m）＝0，

即m2em+lnm＝0，当x∈（0，m）时，g（x）递减；

x∈（m，+∞）时，g（x）递增；

故g（m）为g（x）的最小值，

g（m）﹣1

，

对于y与h（m）都单调递增，

且当时，0成立，

所以g（m）﹣1＝0，

根据题意，0，即，

故a，故0＜a．