Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数），曲线C₂的参数方程为（β为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C₁和C₂的极坐标方程；

（2）若点A在曲线C₁上，点B在曲线C₂上，且∠AOB，求|OA|•|OB|的最大值．

Answer

（1）ρ＝4cosθ，ρ＝2cosθ．（2）4+2．

【解析】

（1）利用，消去参数化为普通方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程；

（2）设出的极坐标方程，利用极坐标意义可得出，运用三角恒等变换，化简，即可求解.

（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），

消去参数α，可得直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝4，

即x2+y2﹣4x＝0，把x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入可得极坐标方程：

ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ．

曲线C2的参数方程为（β为参数），

消去参数β，可得直角坐标方程：（x﹣1）2+y2＝1，

即x2+y2﹣2x＝0，把x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入。

可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．

（2）若点A在曲线C1上，点B在曲线C2上，且∠AOB，

设

则ρB＝2cosθ，ρA＝4cos（θ）

则|OA|•|OB|＝2cosθ×4cos（θ）＝8cosθ（cosθ-sinθ）

＝4（cos2θ-sinθcosθ）＝4）

＝4+2．

∴时，|OA|•|OB|取得最大值4+2．