Question

某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元，满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将2020年该产品的利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer

（1）；（2）厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.

【解析】

（1）由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，可求k的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数可求.

（2）由（1）得，再根据均值不等式可解.注意取等号.

（1）由题意知,当时,

所以,

每件产品的销售价格为元.

所以2020年的利润；

(2)由(1)知,,

当且仅当,即时取等号,

该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.