已知椭圆
的离心率为
，且过点
，若点
在椭圆C上，则点
称为点M的一个“椭点”.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线
与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断
的面积是否为定值?若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.
设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
，
.且
构成等比数列.
（1）证明：
；
（2）求数列的通项公式；
（3）设
，数列
的前项和
，若
恒成立，求实数
的取值范围.
某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）
万件与年促销费用
万元，满足
（
为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2020年该产品的利润
（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
设数列
的前
项和为
，且满足
.
（1）证明：数列是等比数列，并求它的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和
.
设椭圆
的短轴长为4，离心率为
.
（1）直线
与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；
（2）设点
是直线
被椭圆所截得的线段
的中点，求直线的方程.
（1）不等式
对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）求与双曲线
有共同渐近线，且过点
的双曲线的标准方程.
