Question

如图，在三棱柱中，侧面为菱形，为的中点，为等腰直角三角形，，，且.

（1）证明：平面.

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）要证明直线与平面垂直，需证明直线与平面内两条相交直线都垂直，为此需探究图中的垂线关系；

（2）由（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据公式求出所求角的正弦值．

（1）证明：因为为的中点，，所以，

连接，设，因为四边形为菱形，为的中点，，

所以.又为等腰直角三角形，，

所以，

所以，则.

因为，所以平面.

（2）【解析】
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，

所以，.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

设与平面所成角为，

因为，所以.

所以，即与平面所成角的正弦值为.