Question

已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线的准线经过椭圆的左焦点.

（1）求椭圆与抛物线的方程；

（2）直线经过椭圆的上顶点且与抛物线交于，两点，直线，与抛物线分别交于点（异于点），（异于点），证明：直线的斜率为定值.

Answer

（1）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（2）见试题解析．

【解析】

（1）由题意可得，的值，运用，求得，可得椭圆的方程.由抛物线的准线经过椭圆的左焦点，求得，即可得抛物线的方程.

（2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，消去，可得，设，，，，即，，直线方程为，直线方程为，联立即，则，为方程两根，解得，同理，计算即可.

（1）由题意可知，，即，，

椭圆的方程为

抛物线的准线经过椭圆的左焦点

即

抛物线的方程为.

（2）由题意可设直线的方程为，

则，即

直线与抛物线交于，两点

，解得且

设，，，则，为方程的两根，即，

直线方程为：，直线方程为：

将直线方程与抛物线的方程联立

即，则与是该方程两根.

所以，即

同理：直线方程为：时

所以，直线的斜率为定值.