Question

已知函数.

（1）讨论的单调性.

（2）试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)见解析；(2) 存在；的取值范围为.

【解析】

（1），，

所以得，所以通过对与的大小关系进行分类讨论得的单调性；

(2)假设存在满足题意的的值，由题意需，所以由(1)的单调性求即可；

又因为对恒成立，所以可以考虑从区间内任取一个值代入，解出的取值范围，从而将的范围缩小减少讨论.

【解析】
（1），.

当时，，在上单调递增

当时，，在上单调递减，在上单调递增

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增.

（2）假设存在，使得对恒成立.

则，即，

设，则存在，使得，

因为，所以在上单调递增，

因为，所以时即.

又因为对恒成立时，需，

所以由（1）得：

当时，在上单调递增，所以，

且成立，从而满足题意.

当时，在上单调递减，在，上单调递增，

所以

所以（*）

设，，则在上单调递增，

因为，

所以的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为，

所以即.

综上，存在，使得对恒成立，且的取值范围为.