Question

如图，已知是直角梯形，，垂直于平面，，．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

解法1：（1）根据已知利用线面垂直的判定定理可以证明出平面，根据可以得到到平面的距离等于到平面的距离，最后利用线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值；

（2）延长，，设点是它们的交点，连接，则所求二角角延展为二面角．利用线面垂直的判定定理、二面角的定义可以证明出是二面角的平面角，最后利用正切函数的定义求出平面与平面所成锐二面角的正切值．

解法2：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．

（1）利用空间向量夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值；

（2）利用空间向量夹角公式求出平面与平面所成锐二面角的余弦值，再根据同角的三角函数的关系式求出平面与平面所成锐二面角的正切值．

解法1：（1）因为，，所以平面，于是到平面的距离为．

因为，所以到平面的距离等于到平面的距离等于．

由题设，所以直线与平面所成角的正弦值为．

（2）延长，，设点是它们的交点，连接，则所求二角角延展为二面角．

因为，，所以平面．在平面内过作于点，连接，所以有，因此有平面,所以，于是是二面角的平面角．

由题设，，所以AF＝，所以tan∠AFD＝ .

故平面与平面所成二面角的正切值为．

解法2：（1）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．

由已知得，，，，，．

平面的一个法向量为．因为，

因此直线与平面所成角的正弦值为．

（2）设平面的法向量为，．由，得，

可取．取平面的法向量为．

所以．所以，

由图知平面与平面所成二面角锐二面角，所以正切值为．