Question

已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）设出，两点的坐标，代入椭圆方程中，两个等式相减，结合中点坐标公式和斜率公式可以证明出结论；

（2）设，根据平面向量的坐标运算公式化简等式，结合中点坐标公式、椭圆的方程可以求出的坐标，利用两点间距离公式求出，，的表达式，最后根据等差中项的定义进行证明即可.

（1）设，，则，．

两式相减，并由得．由题设知，，于是．

（2）由题意得．设，则，

故，．因为，，所以，．

又点在上，所以，从而，．

于是．同理．

所以．因此，，成等差数列．