Question

过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、．

（Ⅰ）当时，求证：⊥；

（Ⅱ）记、、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立．若存在，求值；若不在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）存在，使得对任意的，都有成立，证明略

【解析】

【解析】

依题意，可设直线MN的方程为，则有

由消去x可得

从而有①

于是②

又由，可得③

（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线

此时①可得

证法1：

证法2：

(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：

证法1：记直线与x轴的交点为,则．于是有

将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立，即对任意成立

证法2：如图2，连接,则由可得

,

所以直线经过原点O，同理可证直线也经过原点O

又设

则