Question

设函数.

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f(x)单调区间.

Answer

（Ⅰ）x﹣y+1＝0．（Ⅱ）当a＝0时，单调递增区间是（﹣∞，0），单调递减区间是（0，+∞）．当0＜a＜1时，单调递增区间是和，单调递减区间是．当a≥1时，单调递增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．当﹣1＜a＜0时，单调递减区间是和，单调递增区间．当a≤﹣1时，单调递减区间是（﹣∞，+∞），无增区间．

【解析】

（I）先求导数f'（x），利用导数求出在x＝0处的导函数值，即为切线的斜率，则可得出切线方程．

（II）对字母a进行分类讨论，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．

因为，所以．

（Ⅰ）当a＝1时，，，

所以f（0）＝1，f'（0）＝1．

所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y+1＝0．

（Ⅱ）因为，

（1）当a＝0时，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．

所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）单调递增，在区间（0，+∞）单调递减．

（2）当a≠0时，设g（x）＝ax2﹣2x+a，方程g（x）＝ax2﹣2x+a＝0的判别式△＝4﹣4a2＝4（1﹣a）（1+a），

①当0＜a＜1时，此时△＞0．

由f'（x）＞0得，或；

由f'（x）＜0得．

所以函数f（x）单调递增区间是和，

单调递减区间．

②当a≥1时，此时△≤0．所以f'（x）≥0，

所以函数f（x）单调递增区间是（﹣∞，+∞）．

③当﹣1＜a＜0时，此时△＞0．

由f'（x）＞0得；

由f'（x）＜0得，或．

所以当﹣1＜a＜0时，函数f（x）单调递减区间是和，

单调递增区间．

④当a≤﹣1时，此时△≤0，f'（x）≤0，所以函数f（x）单调递减区间是（﹣∞，+∞）．