Question

对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．

（1）若函数是“型函数”，且，求出满足条件的实数对；

（2）已知函数．函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，试求的取值范围．

Answer

（1）； （2）.

【解析】

（1）利用定义，直接判断求解即可．

（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）＝4，所以当时,，其中, 所以只需使当时，恒成立即可，即在上恒成立，若，显然不等式在上成立，若，分离参数m，分别求得不等式右边的函数的最值，取交集即可得到m的范围.

（1）由题意，若是“(a,b)型函数”，则,即,

代入得 ，所求实数对为．

（2）由题意得：的值域是值域的子集，易知在的值域为，

只需使当时，恒成立即可，,即，

而当时,, 故由题意可得，要使当时,都有，

只需使当时，恒成立即可，

即在上恒成立，

若，显然不等式在上成立，

若，则可将不等式转化为，

因此只需上述不等式组在上恒成立，显然，当时，不等式（1）成立，

令 在上单调递增，∴，

故要使不等式（2）恒成立，只需即可，综上所述,所求的取值范围是.