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已知数列满足：， 证明：当时， （I）； （II）； （III）.

已知数列满足：，

证明：当时，

（I）；

（II）；

（III）.

 

（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】 （I）用数学归纳法可证明； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得. （Ⅰ）用数学归纳法证明：． 当时，． 假设时，，那么时，若， 则，矛盾，故． 因此，所以，因此． （Ⅱ）由得， ． 记函数， ， 函数在上单调递增，所以， 因此，故． （Ⅲ）因为，所以， 由，得， 所以，故． 综上，．
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考点分析：
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对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．

（1）若函数是“型函数”，且，求出满足条件的实数对；

（2）已知函数．函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，试求的取值范围．

 

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某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升血液中的含药量（微克）与服药的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线是函数（，，且，是常数）的图象.

（1）写出服药后关于的函数关系式；

（2）据测定，每毫升血液中的含药量不少于微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服药为早上，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？

（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克？（精确到微克）

 

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已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点坐标为.

（1）求函数的解析式；

（2）若在区间上单调递增，求实数的最大值.

 

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已知函数，，其中.

（1）当时，求函数的最大值与最小值；

（2）求使在区间上是单调函数的的取值范围.

 

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（1）已知非零向量，不共线.若和共线，求实数的值；

（2）已知，求的值.

 

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