Question

已知集合,设整除或整除,令表示集合所含元素的个数．

（1）写出的值;

（2）当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明.

Answer

（1）（2）答案见解析

【解析】

（1）根据题意按分类计数:即可求得答案;

（2）由（1）知,所以当时,的表达式要按除的余数进行分类,最利用数学归纳法进行证明,即可求得答案.

（1）整除或整除,

故

（2） 当时,

,

下面用数学归纳法证明:

①当时,,结论成立;

②假设()时结论成立,那么时,在的基础上新增加的元素在,,中产生,分以下情形讨论:

1）若,则,

此时有

,结论成立;

2）若,则,此时有

,结论成立;

3）若,则,此时有

,结论成立;

4）若,则,此时有

,结论成立;

5）若,则,此时有

,结论成立;

6）若,则,此时有

,结论成立．

综上所述,结论对满足的自然数均成立．