Question

已知函数,设,其中,方程和方程根的个数分别为．

（1）求的值;

（2）证明:.

Answer

（1）（2）答案见解析

【解析】

（1）因为,令,可得,结合已知,即可求得答案.

（2）先得到在上的单调性和值域,且,再用数学归纳法证明结论,即可求得答案.

（1）当时:

得或

.

（2）

当时,单调递增,且;

当时,单调递减,且;

下面用数学归纳证明:方程,方程,

方程,方程的根的个数都相等,且为.

①当时,方程,方程,

方程,方程的根的个数相等,其为,上述命题成立;

②假设时,方程,方程,

方程,方程根的个数都相等,且为,

则当时,有,

当时,,方程的根的个数为,

当时,,方程的根的个数为

方程的根的个数为.

同理可证:方程,方程,方程的根的个数都相等,且为．

由①②可知,命题成立．

又,则,且,

.