Question

两城市和相距，现计划在两城市外以为直径的半圆上选择一点建造垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理场对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4，对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理场建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065；

（1）将表示成的函数；

（2）判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小?若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由；

Answer

（1）；

（2）存在，该点到城市A的距离时，总影响度最小；

【解析】

（1）根据“垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4，对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为”，建立函数模型：，再根据当时，，求得即可.

（2）总影响度最小，即为：求的最小值时的状态，令，将函数转化为：，再用基本不等式求解.

（1）由题意得，

又当时，，

，.

（2），

令，则，

当且仅当，即时，等号成立，

弧上存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小.