Question

已知函数，

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）若对，恒成立，求的取值范围．

Answer

（1），；（2）

【解析】

（1）求出的导数，得f（x）在（，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，由此能求出f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值；

（2）求出的导数，通过讨论的取值范围，确定函数的单调区间，从而求出的取值范围．

（1）函数的定义域为，当时，，

求导（x＞0），令＝0，得x＝1，（负值舍去）

∴x＞0，x、，f（x）的变化如下：

x

（，1）

1

（1，e）

+

0

f（x）

↑

极大值

↓

∴在区间上是增函数，在上为减函数，f（x）最大值为．

又，，∵，∴f（x）最小值为.

∴，.

（2）函数，则的定义域为，．

①若，令，得极值点，

当，即时，在上有，在上有，

此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；

当，即时，在上有，此时在区间上递增，有，也不合题意；

②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；

要使在上恒成立，只须满足，由此求得的范围是．

综合①②可知，当时，对恒成立．

【点晴】

本题考查了利用导数求解函数的极值与最值、利用导数研究函数的单调性以及分类讨论思想，属于中档题．