Question

已知椭圆的左顶点为A₁，右焦点为F₂，过点F₂作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A₁M的斜率为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若△A₁MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）由已知得点坐标，由，得，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，又外心在轴上，设为，则由，解得，故，所以经过点的切线方程为，联立椭圆方程，消去，得，则由弦长公式可得弦长为，解得，故所求方程为.

试题解析：（Ⅰ）由题意

因为A1（﹣a，0），所以

将b2=a2﹣c2代入上式并整理得（或a=2c）

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，（或）

所以A1（﹣2c，0），外接圆圆心设为P（x0，0）

由|PA1|=|PM|，得

解得：

所以

所以△A1MN外接圆在M处切线斜率为，设该切线与椭圆另一交点为C

则切线MC方程为，即

与椭圆方程3x2+4y2=12c2联立得7x2﹣18cx+11c2=0

解得

由弦长公式得

解得c=1

所以椭圆方程为