Question

某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．

（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；

（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．

Answer

(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据题意，对乙种商品投资（万元），对甲种商品投资（万元），结合题意可求经营甲、乙两种商品的总利润（万元）关于的函数表达式；（Ⅱ）令，利用配方法结合二次函数的性质可求总利润y的最大值．

（Ⅰ）根据题意，对乙种产品投入资金万元，

对甲种产品投入资金万元,

那么

，

由，解得，

所以函数的定义域为.

（Ⅱ）令，则 ，

因为∈，所以，

当时函数单调递增，当时函数单调递减，

所以当=时，即=时， ，

答：当甲种产品投入资金万元，乙种产品投入资金万元时，总利润最大.

最大总利润为万元．