Question

如图，在平面直角坐标系中，A，B是圆O：与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点，x轴上方的动点P使直线，，的斜率存在且依次成等差数列.

（1）求证：动点P的横坐标为定值；

（2）设直线，与圆O的另一个交点分别为S，T.求证：点Q，S，T三点共线.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）设,表示出,,.根据等差中项性质,求得等量关系.由,即可求得,即可证明动点P的横坐标为定值;

（2）由（1）知,代入,中.分别表示出直线和直线方程,代入圆的方程,求得的坐标.由两点间斜率公式可表示出,可得,即可证明点Q,S,T三点共线.

（1）证明:由题设知,,.

设（）,则,,.

因为,,成等差数列,

所以,即,

由于,所以,即证；

（2）由（1）可知,,.

直线的方程为,

代入,化简可得,

于是点S的横坐标,从而.

同理可得,.

因为,

,

即

所以直线和直线的斜率相等,

故点S,T,Q共线.