Question

如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道的长为，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离.D为海湾一侧海岸线上的一点，设（），点D对跑道的视角为.

（1）将表示为x的函数；

（2）求点D的位置，使取得最大值.

Answer

（1），.（2）在海湾一侧的海岸线上距C点处的D点处观看飞机跑道的视角最大.

【解析】

（1）过A分别作直线,的垂线,垂足分别为E,F.表示出各边的长度和各角度数,分别表示出与,根据,结合正切的差角公式代入化简即可得解.

（2）由（1）所得的函数表达式.化简变形后可得分母为基本不等式形式,根据基本不等式性质及的单调性,即可求得当取得最大值时点D的位置.

（1）过A分别作直线,的垂线,垂足分别为E,F.如下图所示:

由题知,,,,

所以,,

.

因为（）,

所以.

因为,（如图1）.

所以

,其中.

所以,.

（2）由（1）可知：,.

因为,当且仅当,

即时取等号,

所以当时,取最小值39.

所以当时,取最大值.

由于在区间上是增函数,所以当时,取最大值.

答：在海湾一侧的海岸线上距C点处的D点处观看飞机跑道的视角最大.