Question

设数列的前n项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求；

（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

Answer

（1）（2）（3）数列中不存在三项成等差数列.见解析

【解析】

（1）利用及公式,代入后可证明数列为等比数列.结合求得,即可得数列的通项公式.

（2）先表示出数列的通项公式,再由等比数列的前n项和公式得求得后代入.即可求得的值.

（3）假设数列中是否存在三项成等差数列.设第m,n,k（）项成等差数列,代入通项公式化简变形,构造函数,证明在上的单调性,化简变形可得矛盾,从而证明数列中不存在三项成等差数列.

（1）1°当时,,解得.

2°当时,,即.

因为,所以,从而数列是以2为首项,2为公比的等比数列,

所以.

（2）因为,所以,故数列是以4为首项,4为公比的等比数列,

从而,

而,

所以.

（3）不存在.理由如下.

假设中存在三项成等差数列,不妨设第m,n,k（）项成等差数列,

则,即.

因为,且m,n,,所以.

令（）,则,显然在上是增函数,

所以,即,

所以,

所以,其左边为负数,右边为正数,故矛盾,

所以数列中不存在三项成等差数列.