Question

已知函数.

（1）过点（e是自然对数的底数）作函数图象的切线l，求直线l的方程；

（2）求函数在区间（）上的最大值；

（3）若，且对任意恒成立，求k的最大值.（参考数据：，）

Answer

（1）（2）（3）最大值是4.

【解析】

（1）设出切点坐标为,求得导函数后,将横坐标带入可得切线的斜率.点在切线方程上,可由点斜式表示出切线方程.带入切点后,可求得切点的横坐标.带入切线方程即可求解.

（2）求得导函数,并令.即可求得极值点,并根据导函数符号判断出为极小值点.讨论及两种情况,即可根据单调性求得最大值.

（3）因为时,分类参数.构造函数,求得导函数,并令,再求得.通过的符号,判断出的单调性.从而由零点存在定理可知在上有且仅有一个零点.设这个零点为,结合函数可判断出当时,,当时,.从而可知在处取得最小值.即可由整数求得的最大值.

（1）设切点为,则,

因为,所以,

因为切线过点,所以切线方程为,①

代入切点得,,

解得,代入①得直线l的方程为,

即直线l的方程为.

（2）函数,则

由得,,

所以当时,,当时,,

所以是极小值,

因为（）恒成立,所以分如下两种情况讨论：

1°当时,函数在区间上是增函数,

则,

2°当时,函数在区间上是增函数,

则,

因为,

显然,

所以,

综上所述的最大值为.

（3）由可知,所以等价于,

令,则,

令,则,恒成立,

所以在上是增函数,

又因为,,

所以在上有且仅有一个零点,

记该零点为,

所以,也即,

所以当时,,当时,,

所以在处取得极小值,也是最小值,

即,

所以整数（）,

所以k的最大值是4.