Question

    如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点.

(1)求证：DE＝DA；

(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题（1）证线段相等，实质证垂直：AE⊥DM, 取AC的中点N，易得四边形DBNM为平行四边形,而由线面垂直判定定理可得BN⊥平面ECA.因此DM⊥平面ECA.即AE⊥DM,（2）由（1）得DM⊥平面ECA，所以根据面面垂直判定定理得平面BDM⊥平面ECA

试题解析:(1)取EC的中点F，连接DF.

∵CE⊥平面ABC，

∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.

∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.

(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN//CF.

∵BD//CF，∴MN//BD，

∴N∈平面BDM.

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.

又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.