Question

已知斜三棱柱的棱长都是，侧棱与底面成60°角，侧面底面.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

Answer

（1）证明见解析（2）45°

【解析】

（1）根据题意，作于点，连接，由平面底面，平面，所以是侧棱与底面所成的角，又因为点为的中点.，是正三角形，所以.，再由线面垂直的判定定理，得到平面，从而证得..

（2）由是平面与平面的一个交点，根据平面的基本性质，平面与平面有且仅有一条过点的交线，设为，根据面面平行的性质定理，得 ，，再由（1）知平面，所以平面，所以为所求锐二面角的平面角，然后再求解..

（1）如图，作于点，连接.

∵平面底面，

平面，

为在底面上的射影，

，，

∴点为的中点.

是正三角形，

.

，

平面，

.

（2）是平面与平面的一个交点，

∴平面与平面有且仅有一条过点的交线，设为，如图.

∵平面平面，

∴由两平面平行的性质，知，又，

由（1）知平面，平面.

为所求锐二面角的平面角，

.

故平面与平面所成的锐二面角为45°.