Question

如图，在四棱锥中，平面平面，且，四边形满足，为侧棱上的任意一点.

（1）求证：平面平面.

（2）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）存在点，证明见解析；线段的长为

【解析】

（1）由平面平面，易得平面，所以，又，根据线面垂直的判定定理，得平面，再由面面垂直的判定定理，得平面平面.

（2）这是一个探索性问题，将问题倒推来分析，若有直线与平面垂直，根据点F，即证使的位置.

（1）∵平面平面，平面平面，

且，平面.

平面，又平面，

.

又，

平面，又平面，

∴平面平面.

（2）存在点，当时，直线与平面垂直.

证明如下：

由，

得，

.

又平面，

，

，

平面，又平面，

.

又，

平面.

在中，，

.

∴存在点，使得直线与平面垂直.此时线段的长为.