Question

如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点．

（）求异面直线与所成角的余弦值．

（）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（）．（）存在，．

【解析】

试题（1）取中点，根据平行公理得即为异面直线与所成角，再根据直角三角形解角，（2）连结，交于点，则根据三垂线定理得为二面角的平面角，再根据直角三角形解得.

试题解析：（）取中点，连结，

又∵为中点，

∴，

连结，则即为异面直线与所成角，

∵为中点，正方体边长为，

∵，，

∴，

故异面直线与所成角的余弦值为．

（）存在，在棱上取一点，

由题意可知，面，

连结，交于点，易知，，

连结，则为二面角的平面角，

当时，即，

解得，

∴当时，二面角的大小为．