Question

已知为椭圆上的动点，轴于，为的中点，设点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）若点，直线与曲线交于，两点，与椭圆交于，两点，问是否存在与无关的实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在请说明理由（，，，分别表示直线，，，的斜率）．

Answer

（1）（2）存在，

【解析】

（1）设，，由题意得，又在椭圆上，代入得椭圆S方程即可得到曲线的方程．

（2）根据题意，要使成立，只要成立即可，将及 表示出来，利用点在椭圆上，化简可得，，可得.

（1）设，，由题意得，

又在椭圆上，代入得，故曲线的方程为．

（2）要使成立，只要成立即可，

设，，，，

又已知点，得，

，

∵在椭圆上，∴，

∵在椭圆上，∴，

，，

∵，

∴．

故存在与无关的实数，使得成立．