Question

如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADE­BCF，如图2.若DE∥CF，CD＝，在线段AB上是否存在点P，使得CP与平面ACD所成角的正弦值为？并说明理由.

Answer

存在；详见解析

【解析】

由已知可得AE⊥平面DEFC，在梯形中，根据长度关系可得，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面ACD的法向量坐标，设，将坐标用表示，根据线面角公式结合已知，即可求解.

当P为AB的中点时满足条件.理由如下：

∵AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，∴AE⊥平面DEFC.

取中点，连，

四边形为平行四边形，，

如图，过E作EG⊥EF交DC于点G，

可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，

以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，1，），

D，，

设平面ACD的法向量为＝（x，y，z），

则，即，

令x＝1，得.

设，

则，λ∈（0，＋∞），

可得.

设CP与平面ACD所成的角为θ，

则，

整理得，解得λ＝1或λ＝（舍去），

∴P为AB的中点时，满足条件.