Question

如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).

(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:

(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为60⁰C，求的值．

Answer

(Ⅰ) 略（Ⅱ）

【解析】

运用三垂线定理证明线线垂直，第二问是告诉二面角求参数的值，这是二面角的逆向问题，仍然要作出二面角，求二面角才能解出参数．这题除了用传统的证法与求角的方法外，也可以应用空间向量来解决．

【解析】
（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD．

SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得ACBE.

(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，SDCD.

又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD．

过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，

故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°

在Rt△ADE中，AD=, DE=， AE=．

于是，DF=

在Rt△CDF中，由cot60°=

得， 即=3解得．