Question

已知圆，线段、都是圆的弦，且与垂直且相交于坐标原点，如图所示，设△的面积为，设△的面积为.

（1）设点的横坐标为，用表示；

（2）求证：为定值；

（3）用、、、表示出，试研究是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线的方程；若没有最小值，请说明理由.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）有，，或.

【解析】

（1）利用距离公式，即可用表示；

（2）分类讨论，计算，即可证明为定值；

（3）由（2）得，同理，利用基本不等式，即可得出结论．

（1）【解析】
设，，代入圆，得，

；

（2）证明：设，，

同理可得，

，设直线的方程为，代入圆的方程得，

，，

代入可得，

，直线过原点，直线的方程为，即，代入可得，

综上所述，为定值；

（3）【解析】
由（2）得，同理

，当且仅当时取等号，

此时，最小值为3，直线的方程为．