Question

已知（且，），（是定义在R上的奇函数）.

(1)求k的值，并判断时的单调性；

(2)已知，函数，，求的值域；

(3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)1，在R上单调递增；(2)；(3).

【解析】

（1）根据求出k的值，并判断函数的单调性；（2）先求出a的值，得，令，，得，即得函数的值域；（3）由题得，分析得，在恒成立，分析即得解.

(1) 因为是定义在R上的奇函数，所以

所以.经检验此时函数是奇函数.

当时，都是R上的增函数，

所以在R上单调递增.(增+增=增)

(2)∵，∴

，

令，，则，

所以，

∴，，

∴在[1,2]上的值域为

(3)易知为偶函数，

时，，，时，

即

由，即，∴

∴，即，在恒成立

则有，

解得：.