Question

设函数，，函数．

（1）求的定义域；

（2）当时，判断并证明在上的单调性；

（3）求在区间上的最小值．

Answer

（1）定义域为

（2）在上是单调递增，证明见解析

（3）

【解析】

(1)分别求出,的定义域,再求其交集即可;

(2)利用定义法直接证明;

(3)根据的单调性,分情况讨论最小值即可.

(1),故的定义域为:,

,故的定义域为:,

而,

所以的定义域为:;

(2)当时,,其在上单调递增,证明如下:

任取,

则,

,

,则,

所以,即,

所以在上单调递增;

(3)由(1)知,

则其在上单调递减,在上单调递增,

①若即时,在上单调递减,

故;

②若即时,在上单调递减,在上单调递增,

故;

综上所述:.